I post precedenti hanno presentato i concetti fondamentali della meccanica delle vibrazioni per un sistema SDOF. In realtà, però, le strutture soggette a vibrazioni possiedono molti gradi di libertà, teoricamente infiniti. Vediamo come i concetti precedenti possono essere estesi a sistemi più complessi.
Un sistema leggermente più complesso di un semplice sistema SDOF è costituito da due masse sovrapposte, vincolate a vibrare solo in direzione verticale. Questo è lo schema di una sospensione doppia, ampiamente utilizzata nella pratica. Questo sistema ha due gradi di libertà, anziché uno solo, e quindi ha due frequenze naturali alle quali può oscillare liberamente.
Se la massa superiore è sottoposta a una forza armonica di ampiezza nota Fe e frequenza f, in regime stazionario entrambe le masse oscilleranno armonicamente. La forza trasmessa alla fondazione Ft sarà anch'essa armonica. Se adottiamo la stessa definizione di trasmissibilità della forza T utilizzata per il sistema SDOF, ovvero il rapporto tra l'ampiezza della forza trasmessa Ft e l'ampiezza della forza eccitante Fe, questa volta T non avrà più un solo picco, ma due, uno per ciascuna delle potenziali risonanze.
Accettato questo inconveniente, questa soluzione ha comunque il notevole vantaggio, rispetto alla sospensione singola, di avere una trasmissibilità che diminuisce molto più rapidamente alle alte frequenze, cioè 80 dB/decade
Il grafico seguente mostra la trasmissibilità di una sospensione doppia con e senza smorzamento. La linea tratteggiata indica la trasmissibilità di un sistema SDOF non smorzato. Il vantaggio di una doppia sospensione alle alte frequenze è evidente. È interessante notare che la presenza di smorzamento non sposta le frequenze di risonanza, ma limita solo i picchi di trasmissibilità.
La mobilità di una doppia sospensione, con e senza smorzamento, è mostrata nel grafico seguente; anche in questo caso sono chiaramente visibili i due picchi dovuti alle due risonanze. A parte questi due picchi, la mobilità mostra le stesse tendenze già viste per il sistema SDOF con pendenze di ±20 dB/decade.
È importante notare che i diagrammi di trasmissibilità e mobilità di una doppia sospensione possono essere immaginati come il risultato della sovrapposizione di due sistemi SDOF, con le risonanze che coincidono con quelle della doppia sospensione. Ciò è dimostrato qualitativamente dall'immagine seguente.
I concetti di trasmissibilità e mobilità possono essere estrapolati a sistemi discreti sempre più complicati, come quello mostrato qui, costituito da cinque masse, tutte vincolate a muoversi solo verticalmente. Il sistema ha cinque gradi di libertà e quindi cinque frequenze naturali e corrispondenti modi naturali di vibrazione.
Se sottoponiamo questo sistema a vibrazioni forzate, con una forza armonica verticale applicata alla massa superiore, possiamo ottenere anche il comportamento della trasmissibilità e della mobilità, rappresentato nei due diagrammi seguenti: in blu le curve senza smorzamento, in arancione le curve con smorzamento. Anche in questo caso, si può notare come la presenza dello smorzamento non modifichi la posizione delle risonanze; solo l'ampiezza del picco viene ridotta.
Si noti come la trasmissibilità, una volta superati i cinque picchi di risonanza, alle alte frequenze diminuisca con una pendenza superiore a 100 dB/decade in assenza di smorzamento.
In un post precedente è stato evidenziato che per un sistema SDOF la funzione di trasmissibilità è la stessa, sia nel caso in cui si applichi una forza armonica alla massa superiore e si voglia determinare la forza trasmessa alla fondazione, sia nel caso in cui la fondazione sia eccitata a muoversi armonicamente e si voglia determinare lo spostamento armonico della massa sospesa. Questa equivalenza continua a essere valida anche per un sistema con più gradi di libertà, come quelli analizzati in questo post.
Poiché la mobilità è il rapporto tra una velocità e una forza, nel caso di un sistema con più masse vincolate a muoversi in un'unica direzione, è necessario specificare in quali punti agisce la forza e in quali punti si misura la velocità.
Se i due punti coincidono, si parla di mobilità diretta. Se i punti sono diversi, si parla di mobilità di trasferimento. Nella figura, vediamo il caso di quattro masse, con la forza applicata alla massa 1 e le velocità misurate su tutte le masse, da cui derivano i quattro diagrammi di mobilità che seguono.
In realtà, le cose sono ancora più complicate perché la forza e la velocità devono riferirsi anche a una direzione. Pertanto, in generale, è necessario specificare anche la direzione in cui agiscono la forza e la velocità.
La cosa importante da notare è che, anche in questo caso, ogni diagramma di mobilità di queste quattro masse può essere interpretato come la sovrapposizione di 4 diagrammi di sistemi SDOF, ognuno con la propria risonanza.
I post precedenti hanno presentato i concetti fondamentali della meccanica delle vibrazioni per un sistema SDOF. In realtà, però, le strutture soggette a vibrazioni possiedono molti gradi di libertà, teoricamente infiniti. Vediamo come i concetti precedenti possono essere estesi a sistemi più complessi.
Un sistema leggermente più complesso di un semplice sistema SDOF è costituito da due masse sovrapposte, vincolate a vibrare solo in direzione verticale. Questo è lo schema di una sospensione doppia, ampiamente utilizzata nella pratica. Questo sistema ha due gradi di libertà, anziché uno solo, e quindi ha due frequenze naturali alle quali può oscillare liberamente.
Se la massa superiore è sottoposta a una forza armonica di ampiezza nota Fe e frequenza f, in regime stazionario entrambe le masse oscilleranno armonicamente. La forza trasmessa alla fondazione Ft sarà anch'essa armonica. Se adottiamo la stessa definizione di trasmissibilità della forza T utilizzata per il sistema SDOF, ovvero il rapporto tra l'ampiezza della forza trasmessa Ft e l'ampiezza della forza eccitante Fe, questa volta T non avrà più un solo picco, ma due, uno per ciascuna delle potenziali risonanze.
Accettato questo inconveniente, questa soluzione ha comunque il notevole vantaggio, rispetto alla sospensione singola, di avere una trasmissibilità che diminuisce molto più rapidamente alle alte frequenze, cioè 80 dB/decade
Il grafico seguente mostra la trasmissibilità di una sospensione doppia con e senza smorzamento. La linea tratteggiata indica la trasmissibilità di un sistema SDOF non smorzato. Il vantaggio di una doppia sospensione alle alte frequenze è evidente. È interessante notare che la presenza di smorzamento non sposta le frequenze di risonanza, ma limita solo i picchi di trasmissibilità.
La mobilità di una doppia sospensione, con e senza smorzamento, è mostrata nel grafico seguente; anche in questo caso sono chiaramente visibili i due picchi dovuti alle due risonanze. A parte questi due picchi, la mobilità mostra le stesse tendenze già viste per il sistema SDOF con pendenze di ±20 dB/decade.
È importante notare che i diagrammi di trasmissibilità e mobilità di una doppia sospensione possono essere immaginati come il risultato della sovrapposizione di due sistemi SDOF, con le risonanze che coincidono con quelle della doppia sospensione. Ciò è dimostrato qualitativamente dall'immagine seguente.
I concetti di trasmissibilità e mobilità possono essere estrapolati a sistemi discreti sempre più complicati, come quello mostrato qui, costituito da cinque masse, tutte vincolate a muoversi solo verticalmente. Il sistema ha cinque gradi di libertà e quindi cinque frequenze naturali e corrispondenti modi naturali di vibrazione.
Se sottoponiamo questo sistema a vibrazioni forzate, con una forza armonica verticale applicata alla massa superiore, possiamo ottenere anche il comportamento della trasmissibilità e della mobilità, rappresentato nei due diagrammi seguenti: in blu le curve senza smorzamento, in arancione le curve con smorzamento. Anche in questo caso, si può notare come la presenza dello smorzamento non modifichi la posizione delle risonanze; solo l'ampiezza del picco viene ridotta.
Si noti come la trasmissibilità, una volta superati i cinque picchi di risonanza, alle alte frequenze diminuisca con una pendenza superiore a 100 dB/decade in assenza di smorzamento.
In un post precedente è stato evidenziato che per un sistema SDOF la funzione di trasmissibilità è la stessa, sia nel caso in cui si applichi una forza armonica alla massa superiore e si voglia determinare la forza trasmessa alla fondazione, sia nel caso in cui la fondazione sia eccitata a muoversi armonicamente e si voglia determinare lo spostamento armonico della massa sospesa. Questa equivalenza continua a essere valida anche per un sistema con più gradi di libertà, come quelli analizzati in questo post.
Poiché la mobilità è il rapporto tra una velocità e una forza, nel caso di un sistema con più masse vincolate a muoversi in un'unica direzione, è necessario specificare in quali punti agisce la forza e in quali punti si misura la velocità.
Se i due punti coincidono, si parla di mobilità diretta. Se i punti sono diversi, si parla di mobilità di trasferimento. Nella figura, vediamo il caso di quattro masse, con la forza applicata alla massa 1 e le velocità misurate su tutte le masse, da cui derivano i quattro diagrammi di mobilità che seguono.
In realtà, le cose sono ancora più complicate perché la forza e la velocità devono riferirsi anche a una direzione. Pertanto, in generale, è necessario specificare anche la direzione in cui agiscono la forza e la velocità.
La cosa importante da notare è che, anche in questo caso, ogni diagramma di mobilità di queste quattro masse può essere interpretato come la sovrapposizione di 4 diagrammi di sistemi SDOF, ognuno con la propria risonanza.
